МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНХ ВОЛН В СРЕДЕ С ЗАВИСИМОСТЬЮ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОВОДИМОСТИ ОТ ВРЕМЕНИ

22 июля 2010

Долгун А. А.

Новосибирский государственный технический университет,

Россия, г. Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20

Для реалистичного моделирования распространения электромагнитных волн в геофизических задачах необходимо решение системы уравнений Максвелла и правильное описание свойств среды, в которой ведется моделирование. Одним из самых эффективных методов для численного решения уравнений Максвелла является векторный метод конечных элементов. Этот метод позволяет учесть разрывность и непрерывность соответствующих компонент электромагнитного поля на границах материалов.

Многие геологические материалы имеют электрические свойства, которые зависят от параметров электромагнитного поля. В данной работе моделируется распространение электромагнитных волн в среде с зависимостью электрической проводимости от времени.

Область, в которой решается задача, состоит из двух подобластей с различной проводимостью: воздух (проводимость равна нулю) и земля (проводимость зависит от времени по заданному закону). Источником электромагнитного поля является петля, расположенная на небольшой высоте над поверхностью земли. Ток включается в начальный момент времени и далее остается постоянным.

Исходное уравнение получается преобразованием уравнений Максвелла и имеет следующий вид:

Vx — VxE + g-^+5(crE) =-—, judt 2 dtdt

где E- напряженность электрического поля, /л - магнитная проницаемость, е -диэлектрическая проницаемость, о - - электрическая проводимость, J- плотность тока. Член уравнения, содержащий вторую производную, опускается, так как его влияние считается несущественным. В результате получим уравнение, используемое для конечно-элементного моделирования:

dJdt

Vx — VxE+ (СГЕ)

/иdt

На границе области задаются однородные краевые условия:

Atнеобходимые

Atвекторные

Vx^VxE»

М Введем пространства:

H(rot, П) = {vе [ь2 (/2)]\ V х vе [ь2 (/2)]’ ] ,

Н0 (rot, П) = {vе H(rot, /2), vх п|г = 0} со скалярным произведением (u,v) = ju-vdQ.

а

Используя конечноэлементную технологию, получим следующую вариационную постановку: найти такое EeH0(rot,/2), что для

любого Е0 eH0(rot,/2) будет выполняться

JV х Еи+; - V х Е0 с!П + J (сгЕ)и+; • Е0 с1П -

At

- f (сгЕ)" • Е„ с!П= — [ -Г+1■ Е„ с!П It*At* j-J"-E0 dQ.

1 At

1 At

а

Задача решается на тетраэдральной сетке. Для улучшения точности результатов в методе конечных элементов используются иерархические базисные функции второго порядка. Проведя дискретизацию и обозначив через Aи Bматрицы массы и жесткости, а через F– правую часть, запишем задачу в матричной форме

fi - F" 1

п+1 пп+1 d

А + —В At

+—Виаи,

AtAt

где a" - вектор степеней свободы на временном слое. Элементы локальных матриц и правой части имеют вид:

AJ = J—VxE,-VxE_,
dne,

if
<"

В;. = j" <тЕ, - Е_, dne, if

Fj= J-JE^iT.

if

38

Для ускорения вычислений разработан метод ускорения сходимости итерационного решателя системы линейных алгебраических уравнений.

В результате работы построена и реализована вычислительная схема и проведено моделирование распространения электро-

магнитного поля в среде с проводимостью, зависящей от времени. Результаты сравниваются с задачей, в которой проводимость остается постоянной во времени.

Научный руководитель – д.т.н., проф. Шурина Э. П.

Статьи по теме:

No related posts