АВТОМАТИЗАЦИЯ РАСЧЕТА СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ
24 июля 2010Актуальность. В связи с ускоренными темпами развития науки и техники в последнее время появляется все больше приборов, устройств и систем, содержащих множество элементов, сложным образом взаимодействующих между собой. Очевидно, что определение их надежностных характеристик как при запуске в эксплуатацию, так и впоследствии, имеет важное значение.
Для большинства электротехнических элементов можно выделить предельные случаи возможных внезапных отказов, а именно: обрыв цепи и короткое замыкание. Например, в конденсаторе обрыв проводников, припаянных к обкладкам, уменьшает его ёмкость до нуля (отказ типа «обрыв цепи»), или при увеличении токов утечки больше допустимого значения, происходит пробой конденсатора (отказ типа «короткое замыкание»). Отказы диода можно также разделить на два типа: отказы в диоде, приводящие к обрыву цепи (отказ типа «обрыв цепи») и короткому замыканию в самом диоде (отказ типа «короткое замыкание») и т. д.
Отказ типа «короткое замыкание» может происходить во всех элементах схемы, через которые проходит ток нагрузки в нормальном режиме работы. Короткие замыкания в таких элементах отключаются основной релейной защитой, в зоне действия которой находится рассматриваемый элемент сети, либо резервной с выдержкой времени. Для защитных коммутационных аппаратов будем учитывать отказ выключателя типа «обрыв цепи». К таким отказам будем относить ложные и излишние отключения выключателей в результате действия релейной защиты, которые ликвидируются с помощью ручного переключения (т.е. без средств авто-
матики), а также автоматические отключения выключателей в результате повреждений во вторичных цепях релейной защиты.
Для анализа надежности сложных элек трических сетей и систем, структурные схемы которых не сводятся к последовательному или параллельному соединению элементов можновоспользоватьсялогико-
вероятностным методом, при использовании которого математическая модель системы составляется в терминах алгебры логики. Логико-вероятностный метод применим к широкому кругу систем с разнообразными связями и сочетаниями элементов, хотя внешне они получаются достаточно громоздкими и при его использовании не всегда удается составить логическую функцию работоспособности, достаточно точно соответствующую структуре схемы.
Для сокращения объема преобразований при составлении логических формул можно на основании структурной схемы надежности предварительно составить логическую схему системы. Логические схемы могут составляться двумя методами – минимальных путей и минимальных сечений.
Постановка задачи. Рассмотрим использование метода минимальных путей и сечений для расчета вероятности безотказной работы электрической системы (рис.1).
Рис. 1. Схема системы х1-х5 – линии электропередачи.
Метод базируется на представлении сетевых систем графом сети.
К сетевым системам относятся физические системы, предназначенные для распределения электроэнергии, газа, воды, пара и пр. Геометрическое изображение сети может быть представлено графом, у которого направление дуг необязательно должно совпадать с направлением физического потока, поэтому граф является частично ориентированным. Условием ориентирования графа сети является расположение базисных узлов, относительно которых производится оценка надежности системы.
Путем в графе называется последовательность дуг, в которой конец предыдущей дуги совпадает с началом последующей (рис.2).
Реальная схема электрических соединений преобразуется в структурную схему, при этом последовательно и параллельно соединенные элементы заменяются эквивалентными. Элементам графа присваиваются обозначения физической сети: вершинам – название пунктов присоединений, дугам – название линий электропередачи. Кроме этих вершин, в графе имеется вершина источников питания, т.е. электростанций.
Представление электрической схемы графом сети дает возможность упростить расчеты и применить для вычислений матрицу путей (рис.2), по которым возможны связи между источником и нагрузкой. Из этих путей выделяются минимальные пути, состоящие из элементов, работоспособное состояние которых обеспечивает передачу электроэнергии от источника питания к узлу нагрузки.
Для электрической схемы из пяти элементов (рис.1) минимальных путей четыре: 1) элементы х1 и х4; 2) х2 и х5; 3) х1, х3 и х5; 4) х2, х3 и х4.
Таким образом, функция работоспособности системы (ФРС) запишется в виде:
Рис. 2. Матрица кратчайших путей
Следует отметить, что полученная ФРС представлена в виде дизъюнкции кратчайших путей успешного функционирования системы.
Функция алгебры логики Аn для логической схемы составляется по общим правилам расчета вероятности безотказной работы, но вместо символов вероятностей безотказной работы элементов рi используются символы событий (работоспособности элемента) аi: Аn = 1 – (1 – a1a4)(1 – a2a5)(1-a1a3a5)( 1-a2a3a4) (1)
Так как в выражении (1) переменные аi рассматриваются как альтернативные (или булевые) и могут принимать только значения 1 или 0, то при возведении в степень любая переменная аi , очевидно, не меняет своего значения, т.е. аin= аin-1 =…= аi2= аi. Воспользовавшись этим свойством после преобразования выражения (1) получим функцию алгебры логики в виде
Аn = a1a4 + a2a5 + a1a3a5 + a2a3a4
–
-a1a2a3 a4
– a1a2a3 a5 + a1a2a4 a5 – a1a3 a4 a5 – a2a3 a4 a5 + 2 a1a2a3 a4 a5.(2)
Заменив в выражении (2) символы событий аi их вероятностями рi , получим уравнение для определения вероятности безотказной работы Pn:
Pn = p1p4 + p2p5 + p1p3p5 + p2p3p4
–
-p1p2p3 p4 – p1p2p3 p5 + p1p2p4 p5 – p1p3 p4 p5 –
p2p3 p4 p5 + 2p1p2p3p4p5.(3)
Следует отметить, что метод минимальных путей дает точное значение вероятности безотказной работы только сравнительно простых систем с небольшим числом элементов. Для более сложных систем метод дает только ее приближенную оценку – нижнюю границу.