ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В МОРСКОЙ ВОДЕ
25 августа 2010Мариненко А.В.
Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука,
Россия, г.Новосибирск, пр. Коптюга, 3
ВВЕДЕНИЕ
Для морской геофизики характерна зависимостькоэффициента
электропроводности от глубины. Ярким примером наличия такой зависимости может служить Черное море. В Черном море, из-за его опреснения реками, существуют две массы, два слоя воды, которые слабо смешиваются друг с другом [2]. Поверхностный слой черноморской воды — до глубины примерно 100 метров — преимущественно речного происхождения. В то же время, в глубины моря поступает более соленая (а значит — и более тяжелая) вода из Мраморного моря — она протекает по дну Босфорского пролива (нижнебосфорское течение) и опускается вглубь. Поэтому соленость придонных слоев черноморской воды достигает 30%о (%о —
64
достигает 30%о (%о — промилле, грамм соли в литре воды). Изменение свойств воды с глубиной — не плавное: с поверхности до 50-100 метров соленость меняется быстро — от 17 до 21 %о, а уже далее — до дна — увеличивается равномерно. В соответствии с соленостью изменяется и коэффициент электропроводности воды. В работе рассматриваются вычислительные схемы на базе векторного метода конечных элементов [1] для гармонического по времени электрического поля с различными реализациями зависимости коэффициента электропроводности от глубины. Предложена вычислительная схема для учета сколь угодно сложной зависимости коэффициента электропроводности от глубины, выраженной в виде функции cr(z). Выполне-
на серия вычислительных экспериментов для различных свойств морской воды, подводного грунта и различных частот.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Электромагнитное поле описывается системой уравнений Максвелла:
|
ЗН м— |
|
; |
|
dt dt |
rotE = -
(1)
|
£ —+ <r(z)E + r’; dt w |
rotH
div(/"Й) = 0; J/’v(еЁ) = 0;
со следующими обозначениями:
Ё — напряженность электрического
поля,
|
• |
Н — напряженность магнитного поля, ct(z) — электрическая проводимость,
•
/л — магнитная проницаемость,
•
s — диэлектрическая проницаемость. Пусть поле Е зависит от времени
Ё (х, /) = Ё (х) еш, где /’ — мнимая единица
(i2= - l), а = 2лf, / — частота.
Переходя от системы уравнений Максвелла к уравнению второго порядка относительно переменной Ё, получим уравнение Гельмгольца:
|
m)st, \ к2 |
1^ ,2^
|
(2) |
rot — rotE + кЕ= -
/U
где Ё = Ёгеа/ +/Ё"
|
СО 6 |
(*)
волновое число.
В случае, когда а — константа, закон сохранения электрического заряда (алгебраическая сумма электрических зарядов тел или частиц, образующих электрически изолированную систему, не изменяется при любых процессах, происходящих в этой системе) описывается следующим уравнением:
divUa+ icoe)E\ = 0(3)
|
5Ед дх |
|
dz |
|
(4) |
|
5Ezdz |
|
0 |
|
+10)5 |
Или в развернутом виде:
|
с дЕу д + — + ду |
|
5Е1+5Е^ |
дх ду
Однако если имеет место зависимость ct(z), то уравнение, описывающее закон сохранения электрического заряда, выглядит иначе:
|
дЕ 5EдЕ |
|
Ez+a(z) |
|
—^ + —-дх ду |
da(z)
|
dz |
dz
|
dE <ЭЕ дЕ |
|
+ дх ду |
(5)
|
dz |
+1СОЕ
|
real |
Относительно действительных перемен-
|
Е" |
ных Е
получим следующую систему уравнений:
|
W |
l2
|
-аи |
— rotrotl-eco I
М
|
1,2т — rotrotl -ею 1 |
|
(6) |
(z)l
r Ereal
тгеа
|
Е" |
V aist J
Введем пространство функций:
U(rot,n) = iu\ue(L2(Q))\
|
(7) |
rotuе (L2(Q))3 } ; Н ° (rot, Q) = {и I и е Н (го/, Q),
мхи =0|;
Умножив скалярно (6) на базисную функцию Vиз этого же пространства, и воспользовавшись 1-ой теоремой Грина, получим дискретную матрично-векторную систему уравнений с несимметричной матрицей, которая может быть решена методом BCG (би-сопряженных градиентов) или GMRES (обобщенных минимальных невязок) [3].
ЛИТЕРАТУРА:
1. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Векторный метод конечных элементов // Учеб. Пособие. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001. — 69 с.
2. Вершинин А.О. Жизнь Черного Моря. — Москва: Изд-во Мак-Центр, 2003. — 178 с.
3. Нечаев О.В., Шурина Э.П. Многосеточный алгоритм решения векторным методом конечных элементов трехмерного уравнения Гельмгольца. // Математическое моделирование. — 2005. — Т. 17, № 6. — С. 92-102.
Научный руководитель: д.т.н., профессор Шурина Э.П.